SYFTE: Strävorna-2 ska ge förutsättningar att utveckla förmågan att beskriva, analysera och använda matematiska begrepp och samband mellan sådana begrepp.

INNEHÅLL: Strävorna-2A handlar om att beskriva, analysera och använda matematiska begrepp och samband mellan sådana begrepp inom området taluppfattning tals användning.

ATT LÄSA:

• Åtta barn delar på nio kakor [Barbro Grevholm]
Dagens vandring leder oss in i ett klassrum i USA med elever i årskurs 4. Episoden i klassrummet är hämtad från en vetenskaplig artikel av Elham Kazemi och Deborah Stipek. Fröken Carter har undervisat klassen i två timmar om addition av bråk. Nu får eleverna följande uppgift: Det har kommit 8 barn på kalaset. Det finns 9 chokladkakor (brownies) som de ska fördela rättvist emellan sig. Hur mycket får varje barn?

• Progression i undervisning om tal i bråkform [Caroline Nagy]
I denna artikel presenteras hur progression av tal i bråkform kan komma till uttryck i kursplan, i läromedel och i undervisning från förskolan till högstadiet. Författaren beskriver också utifrån en egen studie hur lärare kan arbeta för att skapa progression i den undervisning som eleverna möter.

• Förträffligheten med tal i bråkform [Pesach Laksman]
Under senare delen av förra seklet diskuterades bråktalens vara eller inte vara. I denna artikel resonerar författaren om nackdelar med att låta elever enbart möta rationella tal i decimalform eller som tal i procentform. Argumenterande exempel ges från såväl förskolebarns fruktdelning och grundskoleelevers förståelse av rationella tal som vuxnas hanterande av procent vid fåravel.

• Från brakljud till bråkbegrepp [Jöran Petersson]
Bråkbegreppet är mångfacetterat och ett område inom skolans matematik som elever ofta hamnar i svårigheter kring. Här ges en översikt på hur bråk kan delas upp i mindre delbegrepp som vart och ett kan vara lättare att ta sig an i undervisningen, var för sig eller samtidigt.

• Konkretion av decimaltal [Maria Hilling-Drath]
Här presenteras ett sätt att förstärka begrepp kring decimaltal. Med hjälp av tiobasmaterial får eleverna bygga tal för att konkretisera operationer med heltal, tiondelar och hundradelar.

• Lässvårigheter och räknesvårigheter [Görel Sterner]
Här presenteras några exempel på hur specialundervisning i matematik kan läggas upp med tanke på svårigheter kopplade till fonologi, arbetsminne, automatiseringsprocesser och uppgiftsorientering.

• Skillnaden är två [Anne Watson & John Mason]
I artikeln diskuteras hur man med annorlunda uppgifter kan uppmuntra och stimulera elever i alla åldrar till att utforska sitt eget tänkande och att tillsammans generera nya idéer.

• Kastanjematematik [Ulla Wennerlund]
Att fånga matematiken i ögonblicket och utgå från elevernas intressen är något vi strävar efter. Här ges ett exempel från ett arbete med kastanjer, som givit möjligheter att diskutera bl a tal och mätning.

• Om negativa tal [Ingvar O. Persson]
Detta är den första av två artiklar som behandlar negativa tal i undervisning och i läroböcker. Här ges en inledning till problematiken och i kommande nummer ges förslag på två modeller för presentation av negativa tal.

AKTIVITETER:

• Bilparkering
Varje elev ska arbeta med de fyra stegen konkret – halvkonkret – halvabstrakt – abstrakt. Genom att parkera leksaksbilar får elever arbeta med uppdelning av hela tal, i första hand upp till 10.

• Väga paket och jämföra priser
Den huvudsakliga avsikten är att ge elever möjlighet att utveckla grundläggande förståelse för jämförpriser. Genom att arbeta med många paket befäster de samtidigt förmågan att väga. Aktiviteten kan genomföras mycket avgränsat som en mer eller mindre rutinmässig övning att väga paket och sätta rätt prislapp på vart och ett av dem. Den kan också ligga till grund för ett omfattande temaarbete. Låt elever vara delaktiga redan från början med att samla in paket och fylla dem enligt givna instruktioner. Diskutera och gör jämförelser med händelser i elevernas vardagsliv. Några elever kommer kanske så långt att de kan bestämma priset på paket som väger ett helt respektive ett halvt kilogram medan andra kan komma hela vägen till att beräkna jämförpriser med verkliga priser och förpackningar som är märkta med en noggrannhet på enstaka gram.

• Subtraktion som skillnad
När subtraktion ska åskådliggöras i exempelvis läroböcker kan det bli problematiskt att visa ”något som försvinner”. Det förekommer fantasifulla bilder på fåglar som flyger iväg och äpplen som äts upp, men det är inte alltid entydigt för elever vilka fåglar eller äpplen som de ska räkna. Då kan det vara tydligare att arbeta med ett plockmaterial där en mängd läggs fram och där det som ska tas bort verkligen kan tas bort och fokus riktas mot det som återstår. Men att ta bort är inte giltigt för alla subtraktionsuppgifter, många uppgifter kan istället tolkas som en jämförelse som visar skillnaden. I denna aktivitet används först plockmaterial som enkelt kan ritas av i en blockmodell och efterhand kan eleverna övergå från de ikoniska teckningarna till att enbart skriva siffror.

• Jämna och udda tal
De första tal barn kommer i kontakt med är de naturliga talen. Så småningom kan de upptäcka att naturliga tal går att dela in i två undergrupper: jämna tal och udda tal. Det bör undervisningen ta tillvara. Ett skäl för det är att när eleverna senare möter division är de förberedda på de båda begreppen delnings- och innehållsdivision.

• Aktiviteter med kortlek
En helt vanlig kortlek kan användas till enkla, roliga och varierande matematikaktiviteter. De beskrivna aktiviteterna behandlar taluppfattning knutet till ord och begrepp som störst/minst, mer/mindre, tiokamrater, jämnt/udda och dubbelt, liksom till de olika räknesätten.

• Från talrad till tallinje
Från talrad till tallinje består av delaktiviteter med syfte att utveckla elevernas förståelse för tal, från naturliga till irrationella, och för talens placering på tallinjen. Den mentala eller inre talraden ser olika ut för olika elever och skiljer sig i hur användbar den är för eleven. För några elever är det just en rad med tal, medan andra har utvecklat sin talrad till en tallinje. Denna utveckling sker i varierande takt och därför är det en god idé att diskutera med eleverna hur deras talrad ser ut upprepade gånger under deras skolgång. Eleverna ska ges möjlighet att möta talbegreppet ur olika perspektiv, göra begreppet till sitt eget och över tid utveckla och förfina det.

• Rationella tal på tallinjen
Förmåga att använda fakta om bråkuttryck på ett rationellt sätt bygger på förståelse för bråkuttrycks samband (mellan olika bråkuttryck och mellan bråkuttryck och andra representationsformer) och att dessa samband, åtminstone till stor del, har automatiserats. Detta öppnar för möjligheter att kunna generalisera aritmetiska operationer med hela tal till operationer med rationella tal. Några modeller som ofta används i undervisningen är bråkcirkel och tallinje. Inledningsvis används konkreta modeller i form av bland annat så kallade bråkburkar, efterhand övergår modellerna till att vara bildmässiga och slutligen modeller för tänkandet.

• Division är omvänd multiplikation
Aktiviteten syftar till att elever ska undersöka divisionssituationer för att upptäcka sambandet mellan division och multiplikation. Det finns två olika tankesätt för division: innehållsdivision och delningsdivision. I den här aktiviteten får eleverna se hur de två olika divisionstankarna kan motsvaras av samma multiplikation. Om multiplikation ses som upprepad addition kan innehållsdivision ses som upprepad subtraktion och delningsdivision som likadelning.

• Vad är pengarna värda?
Syftet med aktiviteten är att ge exempel på hur pengars värde kan konkretiseras med hjälp av laborativt matematikmaterial. Grundidén med att åskådliggöra pengarnas värde visuellt har stora likheter med aktiviteter där elever närmar sig formell mätning genom direkt och indirekt jämförelse och informella enheter. I samband med att vi i Sverige fått nya mynt och sedlar från och med oktober 2015 är det nödvändigt för alla att lära sig känna igen pengarna för att kunna hantera dem säkert och förstå värdet på dem. Se även sidorna 59–60 i häftet Blå strävor – matematik i många små steg.

• Begreppet pengar
Innehållet har tagits fram som stöd och inspiration till lärare som efter ett besök i utställningen Värdefullt på Göteborgs stadsmuseum vill fortsätta arbeta med begreppet pengar och den matematik som elever i grundskolan behöver erövra för att kunna hantera pengar och sin egen ekonomi, nu och i framtiden, på ett tryggt sätt. Främsta avsikten är att ge underlag för grundläggande arbete med matematikinnehåll som är nödvändigt för att elever ska kunna få förståelse för begreppet pengar. Några uppgifter involverar argumentation, resonemang och kommunikation elever emellan, men för arbete med mer omfattande privatekonomiska uppgifter hänvisas i första hand till undervisningsmaterial som finns att hämta från exempelvis Konsumentverket, Kronofogdemyndigheten och banker.

• Del av helhet
Likadelning är grunden för alla bråk. Genom att vika en helhet i form av papper i allt mindre delar och benämna dem korrekt kan eleverna få grundläggande förståelse för att ju fler delar en hel delas i desto mindre blir varje del.

• Del av antal
Tal i bråkform kan utifrån ett del-helhetsperspektiv illustreras med hjälp av i grunden två olika mängder: helhet eller antal. En helhet illustreras ofta med en pizza. Den utgör helheten och om man delar helheten i fyra delar måste varje del av pizzan vara lika stor som de andra för att utgöra en bråkdel, det vill säga en fjärdedel. I del av antal utgörs mängden av ett antal objekt, låt säga åtta knappar. Om vi vill dela in knapparna i fjärdedelar blir det centrala att antalet knappar i varje bråkdel är lika många, i detta fall två knappar i varje fjärdedel. Hur knapparna ser ut har ingen betydelse. Vid delning av de två olika mängderna ligger alltså fokus på skilda saker, vid del av helhet på att bråkdelarna blir lika stora och vid del av antal på att antalet objekt är lika många.

• Bråkspelet lapp på lapp
Aktiviteten skapar grundläggande förståelse för bråkbegreppets helhet och delar. Den kan i senare årskurser även användas för att repetera eller fördjupa förståelsen av bråk.

• Hoppa längd och kasta flygplan
Eleverna ska i lättsam tävlingsform få ökad förståelse för längd uttryckt som decimaltal, samt övning på begreppet skillnad.

• Undersök decimaltal med tiobasmaterial
Eleverna använder tiobasmaterial och bland annat tomma hundrarutor för att stärka sin taluppfattning och få god förståelse för tal i decimalform.

• Vilken stav är jag?
Eleverna får använda Cuisenairestavar som det relationsmaterial det faktiskt är och arbeta med några uppgifter där de för resonemang utifrån givna stavar som får anta olika värden. Bland uppgifterna på elevsidan förekommer begrepp som hälften–dubbelt och tal i bråk-, decimal- och procentform.

• Färglägg decimaler
Detta spel ger eleverna möjlighet att utveckla sin förståelse för decimalers platsvärden. I aktiviten ska eleverna använda tal i bråkform för att beskriva tal i decimalform.

• Mellantal
Eleverna får möjligheten att utveckla förmågan att ordna tal i decimalform, bland annat genom att göra kopplingar mellan heltal och tal i decimalform. De ska kunna visa talens relativa positioner på en tallinje och ges möjlighet att öka sin taluppfattning genom att koncentrera sig på notationer snarare än operationer.

• Tangrampussel
Tangrampussel kan användas för att införa, befästa och fördjupa ett flertal matematiska begrepp. Pusslet kan användas för att utveckla form- och rumsuppfattning, men också för arbete med bråk-, procent- och areabegreppen. Förkunskaperna beror alltså till stor del vilket matematiskt innehåll som ska betonas.

• Tangram i fyra färger
Många elever är duktiga på att lägga tangrampussel efter olika slags förlagor. Här utvecklas deras kunnande när tangrampussel i olika färger används för att ge dem möjlighet att resonera om tal i procent- och bråkform samt area av pusslets yta. I aktiviteten förutsätts det att eleverna har vana vid att arbeta med tangrampussel och att de snabbt kan pussla samman en kvadrat av de sju bitarna.

• Primtal
Alla tal kan delas upp på olika sätt utifrån varierande förutsättningar, t ex för att finna olika talkamrater eller avgöra om det är ett primtal. Att dela upp tal med hjälp av laborativt material underlättar för eleverna att tillägna sig inre bilder. Dessa visualiseringar kan stödja fortsatt arbete med tal även då laborativt material inte längre används.

• Tal i luckor
Med hjälp av pappskivor med luckor och ett ark med slumptal skapas tal. Talen kan undersökas och eleverna kan resonera om deras relationer. Exempelvis kan det bli diskussioner om negativa tal eller varför det inte går att dividera med noll.

• Decimaltal på räknaren
Aktiviteten syftar till att ge ökad förståelse för positionssystemet, decimaltal , tiondelar och hundradelar.

• Bråkplank och tallinje
Förmåga att använda fakta om bråkuttryck på ett rationellt sätt bygger på förståelse för bråkuttrycks samband (mellan olika bråkuttryck och mellan bråkuttryck och andra representationsformer) och att dessa samband, åtminstone till stor del, har automatiserats. I denna aktivitet arbetar eleverna med sambandet mellan egentliga bråk och en tallinje mellan 0 och 1.

• Bråkcirkel och tallinje
Det finns goda möjligheter att koppla samman bråkcirklar och tallinjer för att utmana och stärka elevers förståelse för förhållande mellan bråkuttryck och tal i decimalform. I följande aktivitet ska elever jämföra egentliga bråk som är representerade i bråkcirklar, d v s som kontinuerliga figurer, med diskreta punkter på tallinjen så att decimalvärdet på de olika bråkuttrycken kan avläsas.

• Hur mycket är ett milligram?
Eleverna får en uppfattning om hur mycket ett milligram är med hjälp av en egenkonstruerad våg.

• Potenser och logaritmer – på en tallinje
I läroböcker är det standard att presentera potenslagarna som ett färdigt system för att beteckna upprepad multiplikation av tal eller bokstäver: $ 2 · 2 · 2 · 2 = 2^4 \, $ ; $ \, 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10^6 \, $ ; $ \, a · a · … · a · a = a^n $. En nackdel med den framställningen är att den inte uppmuntrar eleverna till att reflektera och utforska – allt är ju redan färdigt. Istället får de memorera fakta. I denna aktivitet får eleverna istället möta potenslagarna med tallinjen på pappersremsor för att själva – med matematisk fantasi och associationer – upptäcka och formulera potenslagarna. I en förlängning av aktiviteten möter eleverna även logaritmer.

MathTrek environment of NCM